19세기에서 20세기에 걸쳐 수학사를 이끈 주역.
독일 수학자로 동프러시아의 쾨니히베르크에서 태어났다.
김나지움을 거쳐 쾨니히베르크 대학에 진학했고 1884년 박사학위를 받았다.
쾨니히베르크 대학 동료로 민코프시키를 들수 있는데, 힐베르트는 그의 업적을 모아 정리하는 작업도 했다.
1892년 슈바르츠가 괴팅겐 대학에서 베를린대학으로 자리를 옮기자 클라인은 힐베르트에게 괴팅겐 대학
수학교수를 맡아줄 것을 부탁한다.
클라인은 동료교수들을 설득하는데 실패해 하인리히 베버가 그 자리를 맡게 됐다.
3년 뒤 베버가 스트라스부르크로 떠나게 되자 클라인의 의도대로
힐베르트가 괴팅겐 대학의 교수자리를 맡게 됐다.
1895년 퀴니히베르크에서 괴팅겐 대학으로 이적한 힐베르트는 괴팅겐 대학을
수학천재들의 중심지로 명성을 떨치게 만들었다.
라우에, 프랑크, 하이젠베르크 등 유명한 과학자들이 괴팅겐 대학 시절 힐베르트의 제자들이었다.
1900년에서 1914년사이에는 수학발전에 중한 역할을 했던 많은 수학자들이 힐베르트에서 사사받기 위해
미국에서 괴팅겐으로 몰려들었다고 한다.
1905년 헝가리 과학아카데미는 힐베르트에게 특별 시민권을 부여했고
1930년 쾨니히베르크시로부터 명예시민권도 받았다.
힐베르트의 수학에 관한 지식은 광범위했고 많은 분야에서 천재적이었다.
그는 정수론 등 수학의 여러분야를 연구했는데 기하학분야에 가장 큰 공헌을 했다.
기하학분야에 있어 힐베르트는 유클리드 이후 가장 커다란 영향을 끼친 수학자다.
유클리드 기하학의 공리들을 체계적으로 연구한 힐베르트는 유클리드처럼 스물 한 개의 공리를 제시했다.
곧 1899년 유클리드 기하학을 대체할 새로운 '기하학의 기초'가 출판되기에 이른다.
이책은 점과 직선, 평면, 그리고 이들 사이의 여섯 가지 관계유형에 관한 21개의 공리로 구성돼있다.
1962년 제 9판이 발행됐고 여전히 수학도들에게 읽히고 있을 정도로 중요한 책이다.
한편 힐베르트는 1900년 파리에서 열린 국제수학자회의에서
'수학의 문제들'이란 연설문을 통해 다가올 20세기를 통해 해결해야 할 스물세 개의 문제들을 제시했다.
그의 연설은 다음세기 수학자들에 대한 강한 낙관론을 담고 있었다.
당시 눈길을 끌었던 이문제들은 20세기 수하에 커다란 도전정신과 활력을 불러 일으켰다.
그 반향으로 수학자들은 이 근본적인 문제들을 풀려고 매달렸다.
힐베르트의 23문제들은 그중 하나가 풀릴 때마다 커다란 사건이 되곤했다.
1900년 이후 수학사에 있어 힐베르트가 차지하게 된 위치가 아주 커졌고
대학이나 각종 단체서 그를 초청하려고 애썼다고 한다.
1902년 베를린 대학으로부터 들어온 교수 제의를 처음에는 거절했다가
민코프스키를 본인대신 괴팅겐 대학의 교수로 앉히기 위해 베를린대학으로 자리를 옮긴다.
힐베르트가 제시한 문제들을 해결하기 위한 수학자들의 시도로 20수학은 더욱 발전하게 됐다.
힐베르트는 불변량, 함수해석학, 적분방정식, 수리물리 , 미적분학, 정수론 등 수학의 여러 분야에 공헌했다.
무한 차원 공간에 대한 연구도 했는데 이후 '힐베르트 공간'으로 불렸다.
힐베르트 공간은 해석학과 양자역학에 유용한 개념이 됐다.
힐베르트는 순수 수학 분야뿐만 아니라 수학의 응용에도 많은 관심을 보였다.
그는 양자역학에 쓰이는 파장방정식 공간을 만들어낸 수학자다.
민코프시키가 죽은 뒤에는 그가 했던 물리학 연구까지 떠맡았다.
1915년에는 아인슈타인보다 먼저 일반 상대론의 핵심인 중력장방정식을 발견했지만
힐베르트는 우선권을 주장하지 않았다고 한다.
당시 물리학자 하이졘베르크와 슈뢰딩거가 주장한 행렬역학과 파장역학이
수학적으로는 결국 같다는 사실이 밝혀졌다.
이 때문에 수학자들은 물리학의 수학화에 적극적으로 나서게 됐다.
힐베르트는 "물리학은 물리학자들에게만 맡기기에 너무나 어렵다!"는 말을 하기까지 했다.
수학자들은 수학이 과학에 신의 선물을 선사하고 있다는 믿음을 가졌다.
1924년에는 제자 쿠랑과 '수리물리학의 방법'이라는 20세기 수리물리학의 고전을 출판하기도 했다.
수학자들이 물리학의 수학화에 적극적으로 나서는 과정에서 4차원 시공간에 대한 논의가 발전됐다.
수학에 있어 공리는 논리를 전개하는 바탕이 된다.
유클리드는 "수학이란 진리만을 다루는 가장 논리적이 학문이다"라고 봤다.
하지만 수학이 발전함에 따라 공리를 진리로 보는 것이 오류임이 밝혀졌다.
힐베르트는 공리는 진리가 아니라 약속에 지나지 않는다고 보았다.
수학을 엄밀히 전개하는데 처음 필요한 것이 공리이고 그것에 따라 논리를 전개해나가는 것이다.
공리주의란 모든 이론은 기본이 되는 몇몇 공리에서 출발해 논리적으로 조합됐다고 보는 이론이다.
공리주의는 20세기 초 힐베르트를 중심으로 전개됐던 수학 기초 이론,
유클리드기하학에 대비해 비유클리드 기하학의 공리적 기초를 확립한 힐베르트는
수학과 물리학을 비롯해 과학의 전 분야에 공리적 기초를 마련하려고 애썼다.
그의 저서로 1930년 출판된 '자연과 논리학의 이해'와 1935년 출판된'탁자, 의자와 맥주잔'이 있다.
한편 1934년과 1939년에 걸쳐 '수학의 기초' 두 권을 출판했다.
이 원론집은 수학의 양립성, 즉 무모순성을 체크할 수 있는 증명이론을 이끌어내기 위해 썼다고 한다.
이런 그의 시도는 수학을 완벽한 기초 위에 올려놓은 듯했다.
하지만 1931년 괴델의 논문은 이런 힐베르트의 의도가 불가능하다는 것을 증명한 바 있다.
괴델의 불완전성의 정리에 따르면 모든 수학적 논리체계에는
논리자체로 증명할 수 없는 참인 명제들이 존재한다.
괴델은 처음에 힐베르트의 공리주의를 뒷받침하기 위해 연구를 시작했는데
엉뚱하게도 공리주의에 제동을 거는 결과를 낳고 만 것이다. |
힐베르트 (Hilbert 1862 ∼ 1943)