디오판토스 (Diophantos, 200? ∼ 284?)
 

디오판토스는 그리스의 위대한 수학자 아르키메데스, 팔로니오스, 프톨레마아오스, 헤론, 니코마쿠스 등의
업적을 집대성해 결실을 맺었다고 평가받고 있다.
수학을 공부하다보면 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈 부호( ), 로그(log), 괄호(( ), { }, [ ]) 등 많은 기호들이 있다.
놀랍게도 이 부호들은 4백년 전에는 전혀 쓰이지 않았을 정도로 그 역사가 짧다.
오늘날 으로 표현되는 수식이 1693년에 이르러서야 쓰일 정도였다.
그렇다면 부호가 만들어지기 이전에는 오늘날 쓰이는 수식들이 어떻게 표현됐을까.
식이라는 낱말보다는 수학적 문장이란 표현이 어울릴 것이다.
예를 들어 위 식은 "일정한 길이의 막대들이 있다. 이 막대들로 정사각형 네 개와
정삼각형 하나를 만들려고 한다. 이 때 정사각형의 면적들의 합과 정삼각형의 둘레 길이의 합을 10m가
되게 하고 싶다. 막대의 길이는 얼마로 하면 될까?"라는 문제의 방식으로 표현됐다.
혹은 '네게의 정사각형의 넓이와 정삼각형 둘레의 길이의 합은 10이다.'이나 '4곱하기 정사각형의 넓이와
정삼각형 둘레의 길이의 합은 10이다'으로 표현될 수 있을 것이다.
하지만 이 막대의 길이를 라고 표현하면 으로 식은 더 간단해진다.
직관이나 암산만으로 풀 수 없는 복잡한 문제들을 기호화한 식으로 표현하면 해를 찾기가 쉬워진다.
우리들이 보기에 너무나 당연한 식의 기호화 역사는 불과 5백년 정도밖에 되지 않는다.

수학의 발전을 세 단계로 나눠볼 수 있는데 수사학적 단계, 생략에 의한 단축의 단계,
기호화의 단계가 그것이다. 수사학의 단계란 문장으로 식을 표현하는 단계다.
디오판토스는 수세기 동안 수사학적 표현이 통용되던 방정식을 단순화시킨 장본인으로
자신만의 표기법을 만들어냈다.
디오판노스의 단계가 수학발전의 두 번째 단계. 하지만 그 용이성에도 불구하고 그의 아이디어는
그리스에서 받아들여지지 않았고 아랍인들에 의해 보존됐다.
16세기에 이르러 라틴어로 번역돼 유럽 대수학자들에게 강한 영향을 끼쳤고 대수의 발전에
중요한 역할을 했다.

디오판토스의 관심분야는 정수론과 관련된 대수학이었다.
대수의 역사는 이집트대수, 바빌로니아대수, 그리스기하대수, 디오판토스대수, 인도대수, 아리비아대수,
1500년 이후 유럽대수, 그리고 현대대수로 윤곽을 잡을 수 있다.
그의 이름을 딴 분류가 있을 정도로 디오판토스의 대수는 대수학의 역사에 중요한 자리를 차지하고 있다.
그가 남긴 저서로는 '산학(Aruthmetica)', '다각수에 관하여(On polygonal numbers)', '계론(Porisms)',
단 세 가지 만이 존재한다.
그의 대표적 저서인 산학은 열 세권으로 구성돼있는데 그중 여섯권이 현존한다.
산학은 정수와 관련된 정리들과 방정식의 해법 등 대수분야의 문제들을 섭렵한 책으로
'대수의 꽃'으로 칭송받는다. '다각수에 관하여'는 일부만이 남아있고 '계론'은 전해지지 않는다.

디오판토스의 명성은 산학에 기인한다. 이 책에는 189개의 연립방정식에 관한 내용이 다뤄지는데
디오판토스는 유리수 범위에서 연립방정식의 해를 찾는 것으로 유명하다.
흥미로운 점은 디오판토스는 음수해와 무리수해는 해로 인정하지 않았다는 것이다.
음수가 아닌 유리해를 구하는 방정식은 '디오판토스 방정식'이라고 명명될 정도다.
산학에서 그는 놀랍게도 여러 식들을 일반적인 해법으로 풀지 않는다.
각 문제마다 특별한 방법으로 해를 구했다.
디오판토스는 여러 가지 방법으로 문제를 풀 수 있지만 하나의 해법만으로 만족했다.
디오판토스는 세 가지 형태의 방정식에 관심을 가졌는데, 이 식들은 오늘날 2차방정식의 일반형
하나로 표현될 수 있다. 음이 아닌 유리수해에만 관심을 뒀기 때문에 이런 일이 벌어진 것이다.
산학에서 거론된 대수정리들은 1천4백여년이 지나서야 페르마와 같은 유명한 정수론자들에게
영향을 대수의 발달에 결정적인 역할을 했다.
일례로 "모든 정수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능하다"는 디오판토스의 정리는
페르마에게 받아들여졌고 오일러의 결과들을 종합한 라그랑주에 의해 증명됐다.
한편 디오판토스는 바빌로니아 수학의 영향을 받았고 이를 정리한 것에 불과하다는 평가를 받기도 한다.