유클리드 기하학을 다루는 데 크게 두 가지 방향으로 나눌 수 있을 것이다. 첫째가 자와 컴퍼스만을 가지고 다섯 개의 공리와 그들을 세분화한 힐베르트 공리군을 이용하여 논증적으로 설명해가는 방법과 데카르트에 의하여 주어진 평면의 좌표를 이용하여 기하도형을 표현하고 이들의 성질을 해석적으로 설명해 가는 방법일 것이다.

이 책을 쓰기 전까지 수학과 2학년 학생들에게 ‘기하학개론’을 강의하면서 몇 년간은 그린버그(Marvin J. Greenberg)의 저서인《Euclidean Non-Euclidean Geometry, Development and History》를 이우영 교수가 번역한《유클리드 기하학과 비유클리드 기하학》을 교재로 강의하였고 그 후 몇 년간은 라이언(Patrick J. Ryan)의 저서인《Euclidean Non-Euclidean Geometry, An analytic approach》를 교재로 강의하였다. 그린버그의 책은 먼저 공리적으로 유클리드 기하학을 서술하면서 비유클리드 기하학의 발견을 재미있는 역사적 사실을 곁들이며 잘 설명하고 있다. 그러나 좌표를 사용하지 않고 비유클리드 기하학을 설명하는 데 한계를 느낀다. 또한, 현대기하학의 가장 큰 문제 중의 하나인 두 기하도형의 합동문제는 두 기하도형 사이의 등장사상(또는 등거리 사상)으로 설명한다. 공리적으로 반사, 회전 이동변환을 이용하여 등장사상에 대한 설명은 아무래도 해석적인 방법의 장점을 따르기 어렵다. 그에 반하여 라이언의 책은 강의하기에는 두 학기 강의로도 부족할 만큼 너무 많은 내용을 해석인 방법으로 설명하고 있으며 각 변환에 따른 대수적인 구조인 대칭군, 회전군, 이동군등을 유도해 내고 있다.

한편, 쌍곡기하학을 설명하는 데 많은 책들이 클라인 원반 모형과 푸앵카레 상반평면 모형 그리고 푸앵카레 원반 모형을 모델로 사용하고 있다. 이 책 5장에서 이들을 소개하고 서로 동치임을 밝히고 있다. 이 책의 주제인 반사, 이동, 회전 등 등장변환을 설명하기 위하여 복소수를 이용한 선형분수변환을 사용해야 하지만 1장의 유클리드 평면과 2장의 구면 그리고 3장의 사영평면에서 일관되게 설명하는 성질들과 연결된 정의를 사용하기 위하여 오히려 민코프스키 공간 속의 쌍곡평면을 모델로 사용하였다. 그러나 민코프스키 공간을 처음 대하는 독자들을 위하여 저자는 민코프스키 공간의 이해를 돕기 위하여 4장에서 특수상대성이론의 기초적인 내용과 버만과 노미츠(Birman G. and K. Nomizu)의 논문〈Trigonometry in Lorentzian Geometry〉, (Amer. Math. Monthly 91, 1984) 543-549쪽의 내용을 참고하여 자세히 설명하였다.
따라서 본 저자는 한 학기용 강의를 할 수 있고, 위의 두 책과 논문의 장점을 참고하고 부족한 부분을 보충하여 다음과 같이 저술하였다. -머리말 중에서-

제 0 장 기하학의 역사와 유클리드 공간
0.1 유클리드 기하학 _ 3
0.2 비유클리드 기하학의 탄생 _ 14
0.3 R2 와 R3 의 대수적 구조 _ 19
0.4. 벡터공간의 내적과 외적 _ 27

제 1 장 유클리드 평면
1.1 E2 위의 거리 _ 42
1.2 E2 위의 직선의 표현 _ 44
1.3 E2 위의 수직선 _ 47
1.4 E2 위의 평행선 _ 50
1.5 E2 위의 반사 _ 51
1.6 E2 위의 이동 _ 55
1.7 E2 위의 회전 _ 62
1.8 E2 의 대칭군 _ 70
1.9 E2의 등장사상의 성질 _ 73
1.10 E2 의 유한군 _ 76
1.11 E2 의 정m각형의 상사변환과 대칭변환 _ 81
연습문제 1 _ 84

제 2 장 구면
2.1 S2 위의 직선 _ 89
2.2 S2 위의 거리와 삼각부등식 _ 93
2.3 S2 위의 수직선 _ 97
2.4 S2 위의 반사 _ 99
2.5 S2 위의 회전 _ 105
2.6 S2 위의 이동 _ 111
2.7 S2 의 직교사상 _ 113
2.8 S2 위의 선분 _ 115
2.9 S2 위의 각 _ 118
2.10 구면 삼각형의 사인법칙과 코사인법칙 _ 123
2.11 유한 회전군 _ 127
연습문제 2 _ 128

제 3 장 사영평면
3.1 투시도와 사영평면 _ 133
3.2 P2 위의 직선 _ 138
3.3 복비 _ 143
3.4 좌표공간에서의 사영 _ 147
3.5 동차좌표 _ 150
3.6 P2 위에서의 거리 _ 156
3.7 P2 위의 등거리 변환(등장사상) _ 161
3.8 P2 위의 반사 _ 162
3.9 P2 위의 회전과 이동 _ 165
연습문제 3 _ 168

제 4 장 민코프스키 공간
4.0 특수 상대성이론 _ 172
4.1 민코프스키 내적 _ 188
4.2 L3 의 외적 _ 195
4.3 L3 의 쌍곡각 _ 199
4.4 L3 위의 회전변환 _ 203
4.5 L3 위의 평행사변형의 면적 _ 208
4.6 쌍곡원에 내접한 삼각형 _ 210
4.7 쌍곡 사인법칙과 쌍곡 코사인법칙 _ 214
연습문제 4 _ 217

제 5 장 쌍곡평면
5.1 복비와 선형분수변환 _ 223
5.2 벨트라미-클라인 모형 _ 228
5.3 푸앵카레 상반평면 모형 _ 230
5.4 푸앵카레 원반 모형 _ 233
5.5 입체사영 _ 237
5.6 H2 위의 직선 _ 245
5.7 H2 위의 수직선 _ 249
5.8 H2 위의 거리 _ 251
5.9 T:H2→H2 등장사상(등거리변환) _ 254
5.10 L3 위의 반사 _ 255
5.11 H2 위의 반사 _ 257
5.12 H2 위의 회전 _ 259
5.13 H2 위의 이동 _ 261
5.14 H2 위의 평행이동 _ 263
연습문제 5 _ 266

유클리드 평면, 구면, 쌍곡평면의 비교 _ 268
참고문헌 _ 269
찾아보기 _ 270