대학 신입생들을 위한 집합론 입문서
추상적 대상들의 모임인 집합을 연구하는 분야인 집합론(集合論, set theory)은 술어논리학과 함께 대부분의 수학기초론 체계의 근본으로 현대 수학을 논리적으로 지탱하는 토대가 된다. 예를 들면, 수, 관계, 함수 등과 같은 수학적 개념들은 집합론의 개념을 적용하여 정의되고, 더 나아가서 현대 수학의 각 영역에서 이론을 전개하는 도구로 사용되고 있다. 따라서 대학에서 수학을 전공하는데, 집합론의 여러 가지 개념과 성질 및 논리적 기호를 정확히 이해하고 활용하는 능력을 키우는 것은 매우 중요하다.
• 제1장은 집합의 기초개념을 시작으로 수학적 사고의 엄밀한 표현을 위해 논리적 기호를 안내하고, 이를 이용하여 추론규칙 및 술어와 한정기호에 대하여 소개한다. 또한 집합론에 대한 칸토어의 포괄성원리가 가지는 모순을 극복하기 위해 제안된 ‘형식주의’로서 공리적 접근법(예, ‘체르멜로-프렌켈 공리계’ 또는 ‘ZF공리계’)의 필요성을 설명한다.
• 제2장에서는 ZF공리계에 기초하여 집합에 대한 여러 기본정리들을 증명하고, 특히 집합과 그 연산이 ZF공리계로부터 파생될 수 있음을 확인한다.
• 제3장에서는 집합이 가지는 의미 있는 동질성(예, 동치관계)을 수단으로 이들을 분류(또는 분할)하는 법에 대해 공부한다.
• 제4장에서는 ZF공리계에 기초하여 현대수학의 주요 요소인 함수의 개념을 엄밀하게 정의하고, 관련된 주요개념들(예, 선택공리, 단사, 전사, 대등, 일반화된 데카르트 곱 등)과 그 기본 성질들에 대해 살펴본다.
• 제5장에서는 ‘크거나 같다’ 또는 ‘작거나 같다’에 대한 개념을 일반화한 순서 개념을 다룬다.
• 제6장은 수학의 핵심 요소인 자연수의 개념을 공리적 집합론에 기초하여 정의하는 엄밀한 방법을 소개하고, 이를 이용하여, 순차적으로 ‘정수’와 ‘유리수’를 도입한 후, 가감승제가 자유로운 수집합의 개념으로 소위 ‘(순서)체’를 공부한다.
• 제7장에서는 유리수로부터 실수를 구성하는 두 가지 방법(‘절단을 활용하는 데데킨트 방법’, ‘코시 수열을 활용하는 칸토어 방법’)을 자세히 소개한다.
• 제10장에서는 집합론의 핵심인 ‘무한’의 개념을 기초적인 수준에서 자세히 설명하기 위하여 노력했다. 특히, 이를 위한 예비지식(8장, 9장)을 두어 칸토어의 초기 업적인 ‘집 합의 크기’를 공부하는 초심자를 배려하였다.
• 제8장에서는 약수와 배수 및 산술의 기본정리, 합동관계에 대해 다룬다.
• 제9장에서는 우선 점화정리를 활용하여 유한합과 유한곱에 대한 기호 개념과 그 성질들을 소개하고, 무한급수와 소수전개 및 다항식에 대한 기초개념(나눗셈 알고리즘, 인수정리, 다항함수의 증가율, 다항함수에 대한 일치정리 등)을 살펴본다.
