넘버토크Number Talks는 어떤 내용의 수학 수업이든 간에 수업을 시작할 때 이용하기에 매우 적합하다. 넘버토크는 내가 알고 있는 어떤 교수법과도 다르다. 대부분의 경우 단 한 시간의 수업을 위해 몇 시간의 수업 계획이 필요하지만, 넘버토크는 다르다. 정말 짧은 시간(5분에서 15분 정도) 동안 교사는 학생들에게 아주 훌륭한 수학적 기회를 제공할 수 있는데, 이 기회는 수학에 대한 생각을 바꾸게 해주고, 수 감각을 가르쳐주고, 수학 능력을 길러주고, 동시에 창의적이고 열린 수학을 할 수 있도록 해준다. 나는 온라인 강좌(www.youcubed.org)에서 4만 명의 교사들에게 넘버토크를 가르쳤다. 그 이후로, 교사들은 학년에 상관없이 넘버토크가 학생들의 많은 것을 바꾸어 놓았다고 말했다. 내가 만난 사람들 중 누구보다도 깊은 수학 학습에 대한 지혜를 가진 캐시 험프리Cathy Humphreys와 루스 파커Ruth Parker가 같이 팀을 꾸려서 이 책을 썼다는 것이 얼마나 환상적인지 모른다. 1990년대 초에 루스 파커와 캐시 리처드슨은 넘버토크를 창안했지만 소수의 사람들만이 이 사실을 알았다. 캐시 험프리는 넘버토크를 중 · 고등학교의 수준으로 확장하는 데 중요한 역할을 했으며, 스탠퍼드 대학교의 대학원생은 물론 고등학생들과 함께 그 사용법을 연구했다. 캐시와 루스는 넘버토크를 모든 학년의 학생들에게 가르치는 가장 좋은 방법에 대한 놀라운 지식을 개발했다. 

이 책은 그러한 지식을 읽기 쉬운 형태로 제시하고 있다. 넘버토크가 중요한 이유는 학생과 성인을 포함한 모든 사람들에게 수학에 대한 완전히 다른 시각을 제공한다는 데 있다. 이는 미래의 학습에 아주 중요한 관점이다. 최근 몇 년동안 나는 여름학교라는 다소 어려운 환경에서, 스탠퍼드의 대학원생과 함께 7∼8학년 학생들을 가르쳐왔다(Boaler, 2015). 학생들 대부분은 수학을 싫어했으며, 그들이 경험한 수학 학습은 연습 문제를 조용히 계산하는 것이어서 수학이라는 과목 자체를 싫어했다. 우리는 여름학교 동안 매일 넘버토크로 수업을 시작했고, 그 날의 특정 문제를 풀기 위한 다양한 전략들을 수집했다. 

학생들은 하나의 수학 문제, 특히 27×12와 같은 순수한 연산문제를 여러 가지 방법으로 해결할 수 있음을 전에는 전혀 알지 못했기 때문에 이러한 경험은 학생들에게 큰 변화로 다가왔다. 우리와 함께 하는 동안 학생들은 수학이 개방적이고 시각적인 과목이라는 것과, 모든 수학 문제는 다른 전략과 방법을 사용하여 해결할 수 있다는 것을 배웠다. 이 새로운 관점은 학생들의 모든 것을 바꿔놓았고 우리는 넘버토크 없이는 이러한 중요한 변화를 만들 수 없었을 것이다. 

루스와 캐시로부터 넘버토크를 배운 이후, 여러 가지 다른 상황에서 넘버토크를 이용해 보았다. 스탠퍼드의 학부생, 수학에 어려움을 겪고 있는 학생들과 주요 기업의 CEO와 완전히 똑같은 문제를 가지고 넘버토크를 진행해보았다. 이러한 과정을 통해 울프람알파 Wolfram Alpha 및 유다시티Udacity 같은 기업에서 일하는 사람들을 포함한 고차원의 수학 사용자들조차도 단순한 수 문제가 창의적이고 시각적으로 나타낼 수 있는 해결 방법을 가지고 있기에 개방적이라는 사실을 몰랐다는 것을 깨닫게 되었다. 18×5라는 문제를 해결하는 여러 가지 방법을 보여주었던 나의 책, 《What’s Math Got to Do with It?》의 한 독자는 수 문제가 다른 방법을 가지고 있다는 것을 알았지만 창의적이고 유연한 해결 방법들은 수학에 있어서 ‘규칙들에 어긋난다’고 생각했다고 한다. 

사람들의 수학적 견해를 바꾼다는 넘버토크의 힘은 아무리 강조해도 지나치지 않지만, 넘버토크를 통해 달성할 수 있는 또 다른 중요한 목표가 있다. 수 감각은 학생들이 가질 수 있는 가장 중요한 기초이자 수준 높은 수학을 위한 기초가 된다. 학생들이 대수에서 실패한다는 것은, 대수가 정말로 어려운 과목이기 때문이 아니라, 학생들이 수 감각의 기초가 없기 때문이다. 많은 교사들이 이 사실을 알고 있지만, 학생들이 어떻게 수 감각을 개발하는지 모르고, 종종 수에 관련된 사실과 절차에 대한 단순 암기를 장려함으로써 수 감각을 개발하는 것과는 상반된 방법으로 가르치는 경우가 많다(Boaler, 2014). 어떤 교사가 나에게 “수 감각을 개발하려면 어떻게 해야 되나요?”라고 묻는다면, 내 대답은 아주 간단하게 “넘버토크.”이다. 

넘버토크는 학생들에게 그들이 알아야 할 수학적 사실뿐만 아니라 수학을 이해하는 데 매우 중요한 수들 간의 관계를 이해하도록 가르친다. 또한 학생들이 그들의 생각을 공유하도록 권장하는 교실을 만들고, 교사는 학생들의 생각을 듣는데 능숙하도록 도와준다. 이는 모든 수학 교실에서 가장 중요한 목표들 중 일부이다. 넘버토크는 매우 배우기 쉽고 교사들이 즐겁게 실행할 수 있지만, 가장 효과적으로 구현하는 방법에 대해 알아야 할 중요한 사항이 있다. 처음에 교사들은 넘버토크를 하는 전문가 교사의 비디오를 보고, 매우 쉬워보여서 가르치기가 쉬울 거라고 생각한다. 그러나 넘버토크를 직접 가르치기 시작하면 많은 질문들이 생긴다. 학생들이 틀린 답을 공유하거나 실수했을 때 뭐라고 해야 할까? 학생들이 공유하지 않는다면 교사는 어떻게 해야 할까? 넘버토크에 사용할 수 있는 가장 좋은 문제를 어떻게 알 수 있을까? 중 · 고등학생을 위한 넘버토크 사례는 어디에서 찾을 수 있을까? 이러한 질문들을 포함한 그 밖의 많은 질문들이 이 책에서 다루어졌다.

 -저자 머리말 중에서-

Chapter 1
넘버토크란 무엇일까? 왜 중요할까? 1
❚왜 넘버토크가 필요한가? / 2
 

Chapter 2
넘버토크 시작하기 7
❚시작에 앞서서 / 9
❚시작하기: 도트 카드 / 11
❚성공적인 넘버토크를 위한 고려사항 / 14
 

Chapter 3
넘버토크 실행을 위한 지도 원리 23
❚넘버토크를 위한 지도 원리 / 24
수 연산으로 넘버토크 시작하기 31
❚장 구성 방법 / 31
❚넘버토크를 위한 세 가지 기초 / 32
 

Chapter 4
학년을 아우르는 뺄셈 37
❚뺄셈을 위한 다섯 가지 전략 / 38
❚뺄셈 전략을 깊이 있게 발전시키기 / 40
 

Chapter 5
학년을 아우르는 곱셈 59
❚넘버토크와 구구단 / 59
❚학년을 아우르는 곱셈 / 62
❚곱셈을 위한 네 가지 전략 / 66
❚곱셈 전략을 깊이 있게 발전시키기 / 68
❚기초 연산과 대수 연결하기 / 75
 

Chapter 6
학년을 아우르는 덧셈 81
❚다섯 가지 덧셈 전략 / 82
❚다섯 가지 덧셈 전략을 깊이 있게 발전시키기 / 84
 

Chapter 7
학년을 아우르는 나눗셈 99
❚다섯 가지 나눗셈 전략 / 100
❚나눗셈 전략을 깊이 있게 발전시키기 / 103
 

Chapter 8
분수, 소수, 퍼센트 이해하기 115
❚분수에 대해 생각하기 / 116
❚‘더 많나요 아님 적은가요?’와 관련된 넘버토크 / 117
❚‘0, 또는 1에 가까운가요?’ 넘버토크 / 120
❚‘어떤 수가 더 큰가요?’(Which is Greater) 넘버토크 / 124
❚‘수직선에서의 분수’ 넘버토크 / 125
❚활동 5: 합과 차를 어림하기 / 128
❚활동 6: 곱과 몫 / 131
❚분수와 자연수를 곱하기 / 131
❚‘다루기 힘든’(Messy) 분수와 다루기 쉬운 자연수(Friendly Whole Numbers) / 133
❚다루기 쉬운 분수와 ‘다루기 힘든’ 수 / 134
❚분수와 분수의 곱 어림하기 / 135
❚분수 나눗셈 / 135
❚분수 나눗셈에 관한 사고/추론하기 / 138
❚소수에 대해 생각하기 / 139
❚‘소수점이 어디에 있지요?’ 넘버토크 / 140
❚퍼센트에 대해 생각하기 / 142
❚활동 6: 분수를 퍼센트로 표현하기 / 143
❚활동 7: 주어진 수/양의 퍼센트를 나타내기 / 144
 

Chapter 9
탐구를 이끌어내는 넘버토크 149
❚I. 탐구활동 전 / 151
❚II. 탐구활동 제시하기 / 151
❚III. 소그룹 활동 / 153
❚IV. 전체 그룹 활동을 통해 이해하기 / 156
❚V. 마무리 / 158
❚탐구활동 / 158
❚항상 적용이 가능할까? 탐구활동 1: ‘뺄셈에서 같은 차’를 이용한 전략 / 158
❚항상 적용이 가능할까? 탐구활동 2: 덧셈에서 숫자 바꾸기 / 161
❚항상 적용이 가능할까? 탐구활동 3: 분수 곱셈에서 분모와 분자 바꾸기 / 162
❚항상 적용이 가능할까? 탐구활동 4: 곱셈에서 반으로 나누고 두 배 하기 / 165
❚항상 적용이 가능할까? 탐구활동 5: 나눗셈에서 반으로 나누고 또 반으로 나누기 / 168
❚탐구활동 6: 1로 나누기 / 170
❚탐구활동 7: 곱셈의 기하학적인 표현 / 173
❚탐구활동 8: 뺄셈 전략 사용하기 / 179
❚탐구활동과 수학적 실천 규준 / 181
 

Chapter 10
넘버토크에 대한 Q&A 183
 

Chapter 11
더 나아가서 199
 

Appendex
부록 199
참고문헌 213
찾아보기 216

지은이
캐시 험프리 Cathy Humphreys
스탠퍼드 대학(Stanford University)에서 수학교육 및 학습을 연구하고 있다. 30년간 캘리포니아 공립학교에서 아이들을 가르쳤으며, 실리콘밸리 수학협의회 수석 교사 등 수학교육 관련 다양한 활동을 하고 있다. 공저로 《Connecting Mathematical Ideas(Heinemann, 2005)》가 있다.
 

루스 파커 Ruth Parker
20년 넘게 아이들을 가르쳐온 수학교사이다. 현재 Mathematics Education Collaborative의 대표로 있으면서 수학 교사 양성에 힘쓰고 있다. 저서로《 Mathematical Power: Lessons from a Classroom(Heinemann, 2005)》과 그 외 많은 논문이 있다.



옮긴이
김희정
버클리 대학(UC Berkeley)에서 수학교육으로 석사와 박사학위를 받은 후, 현재 홍익대학교 수학교육과에서 교수로 재직 중이다. 많은 학생들이 질이 높은 수학 학습의 기회를 가질 수 있는 수업이 무엇일까에 대한 고민과 함께 한국은 물론이고 전 세계 수학교육 교수들과 공동연구를 통해 수학 교수-학습 원리 및 수학 교실 수업 개선에 관한 연구를 진행하고 있다.

손지원
미시간 주립대학(Michigan State University)에서 수학교육으로 박사학위를 받은 후, 현재 뉴욕 주립대학교 수학교육과에서 교수로 재직 중이다. 다양한 커리큘럼 간의 차이를 연구하여, 학생과 교사의 학습을 개선하는 방법을 연구해왔다. 특히 비교연구를 통하여, 한국 수학교육 현장과 미국수학 교육현장을 개선하는 연구를 진행하고 있다. 저서로는《 What Matters? Research Trends in International Comparative Studies in Mathematics Education(Springer, 2017)》이 있다

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