이 책은 미분기하학의 여러 가지 주제 중에서 R3 상의 곡선과 곡면의 국소적인 성질과 대역적인 성질을 연구하는데 필요한 입문서이다. 미분적분학, 선형대수학, 미분방정식, 벡터해석 등을 한 학기 이상을 수강하면 이해할 수 있을 정도의 내용을 저자가 여러 해 동안 강의했던 내용과 Richard S. Millman과 George D. Parker의 저서 “Elements of Differential Geometry”의 내용을 중심으로 두 학기 강의용 교재로 제작되었다. 특히, 기존에 쓰이고 있는 여러 가지 표현방법을 비교하면서 소개하였고, 가능한 많은 그림을 삽입하므로써 내용을 이해하는데 도움을 주려고 노력하였다.
제1장에서는 미분적분학, 선형대수학, 벡터해석에서 다루는 내용 중 이 책을 공부하는데 필요한 기초지식에 대해 다룬다. 특히, 미분적분학의 다변수함수에 대한 기본적인 지식이 필요하다.
제2장에서는 공간곡선의 국소적이론에서 가장 기본적이면서 중요한 Frenet-Serret의 정리에 대해 알아보고 이 정리에서 파생되어진 여러 가지 결과를 알아본다. 그리고 상미분방정식 이론을 바탕으로 평행이동과 회전이동을 무시하면 공간곡선은 곡률과 열률에 의해 완전히 결정된다는 곡선의 기본정리에 대해 알아본다.
제3장에서는 평면곡선의 대역적 성질에 대해 다룬다. 여기서는 등주부등식, 회전수 정리, 네 정점 정리, 상수두께를 가지는 곡선 등 평면곡선에서 중요한 내용을 자세한 증명과 함께 공부한다. 그리고 이해를 돕기 위해 예제를 이용하여 이러한 정리를 자세히 설명하였다.
제4장에서는 공간곡면의 국소적 이론에 대해 다룬다. R3 의 곡면을 정의하고 곡면에 대한 제1기본형식, R3 에서 곡면이 얼마나 굽어있는가를 측정하는 법곡률과 곡면 위의 곡선이 얼마나 굽어있는가를 측정하는 측지곡률에 대해 공부하고 Gauss공식 등을 이용하여 곡면의 국소적 성질에 대해 공부한다. 그리고 평면에서 직선의 성질과 유사한 곡면 위의 곡선인 측지선에 대한 여러 가지 성질을 알아보고 벡터의 평행이동에 대해 알아본다.
제5장에서는 곡면에 대한 제2기본형식을 정의하고 Weingarten 사상에 대해 알아본다. 법곡률은 곡면 위의 곡선의 접방향으로 얼마나 굽어있는가를 측정하는 도구이다. 그러므로 법곡률 만으로 곡면이 얼마나 굽어있는가를 측정하는 것을 불충분하다. 방향에 관계없이 곡면이 얼마나 굽어있는가를 측정하기 위해 Weingarten 사상을 도입한다. 그리고 이것은 Gauss 곡률과 평균곡률에 관계있다.
제6장에서는 공간곡선의 회전수정리인 Fenchel 정리와 미분기하학에서 가장 중요한 정리 중 하나인 Gauss-Bonet 정리에 대해 알아본다. 그리고 위상학적 불변량인 Euler 표수에 대해 알아본다.
-머리말 중에서-
