"실 해석학 첫걸음"은 대학의 수학과, 수학교육학과, 응용수학과 등에서 통상 전공 필수 과목으로 개설하는 ‘해석학’ 또는 ‘해석개론’을 위한 책이다. 이 과목은 수학을 전공하는 학생에게 매우 중요한 첫 관문으로, 다른 전공 수학 과목뿐만 아니라 자연 과학과 공학 등의 많은 주제의 학습에 필요한 기초적인 내용을 제공한다. 지은이는 그 동안 ‘실 해석학’을 다룬 책으로 "실 해석학–전혀 새로운 접근"1)제2판, "해석학 입문"2) 제4판, "해석학의 원리"3) 제3판, "실 해석학 입문"4) 제2판 등을 옮겼다. 이런 책들을 옮긴 경험을 바탕으로 우리 실정에 알맞은 실 해석학 교재를 엮으려고 노력했다. 고등학교와 대학 교양 과정의 미분 적분학에서는 제대로 증명하지 않고 제시된 여러 가지 계산 방법과 주요한 정리들을 활용해서 결과를 얻는 데 주력한다. 실 해석학에서는 이런 방법과 정리를 명확하고 엄밀하게 증명해서 사용한다. 이에 따라 이 책에서는 실 해석학의 거의 모든 주제의 기초를 이루는 실수의 완비성상한 성질, 하한 성질을 특히 강조한다. 이 책은 변수가 한 개인 실변수 주릅(함수)만을 다룬다. 실직선(수 직선)의 위상 개념들을 도입해서 활용하지만, 이에 부담을 느끼는 초심자를 위해서 위상을 이용하지 않는 증명 방법도 제시한다. 그리고 실 해석학의 주요한 활용 분야이고 역사적으로 실해석학의 주제 전체를 철저하게 다시 검토하게 했던 푸리에 어울이(급수)를 포함시키고, 리만 적분의 부족한 점을 보완할 수 있고 상급 과정의 해석학의 기초를 이루는 르베그 적분도 포함시켰다. 이에 따라 이 책은 내용 면에서 실 해석학의 완비된 모습을 보여줄 수 있을 것으로 보인다. 그리고 다음과 같은 점에 중점을 두어 이 책을 전개했다. (1) 기본적이고 필수적인 학습 내용을 명시적으로 강조하고 학습 목표를 명확하게 함으로써 학습 동기를 북돋우려고 했다. 그리고 정의, 정리, 보기 등의 뒤에 제시한 ‘일러두기’에서는 학습 내용과 관련된 추가적인 설명, 참고 사항, 주의 사항 등을 나열해서 학습 내용의 의미를 더욱 명확하게 하고 잘못된 개념을 피할 수 있게 했다. (2) 학생들이 수월하게 이해할 수 있도록, 정리와 보기의 밝힘(증명)과 풀이는 될 수 있는 대로 쉽고 자세하게 제시했다. (3) 정리 및 보기와 직접 관련된 문제를 바로 그 아래에 ‘익히기’로 제시해서, 학습한 내용을 즉각적으로 활용할 수 있는 기회를 갖고 그 내용을 더욱 정확하고 깊게 이해할 수 있도록 했다. (4) 소단원 끝에 있는 ‘다지기’에는 그 소단원에서 학습한 내용을 종합적으로 파악하고 이해도를 높일 수 있는 문제들을 제시했다. 그리고 본문에서 다루기 어려운 추가적인 주제 또는 특수한 문제를 ‘뛰어오르기’에 도전적인 문제로 제시해서 심화 학습에 도움을 주고자 했다. (5) ‘익히기와 다지기의 풀이 모음’에서는 지면 관계상 본문에서 생략한 밝힘(증명)과 다른 곳에서 활용되는 문제들의 풀이를 거의 빠짐없이 제시해서 자기 주도 학습에 도움이 되도록 했다. -머리말 중에서-

제 1 장 실수 체계 1

1.1　모음_집합 2

1.2　주릅_함수 8

1.3　실수 체계: 연산에 관한 성질과 순서 성질 20

1.4　실수 체계: 상한 성질 30

1.5　실수 체계의 또 다른 성질 40

1.6　셀 수 있는 모음과 셀 수 없는 모음_가산 집합과 비가산 집합 47

제 2 장 실수들의 잇달이_실수열 53

2.1　잇달이의 수렴_수열의 수렴 54

2.2　잇달이의 극한의 성질_수열의 극한의 성질 63

2.3　단조로운 잇달이와 품기는 구간 성질_단조 수열과 축소 구간 성질 71

2.4　쪽잇달이와 볼차노 ․ 바이어슈트라스의 정리_부분 수열과 볼차노 ․ 바이어슈트라스의 정리 82

2.5　코시 잇달이_코시 수열 90

2.6　하극한과 상극한 96

제 3 장 수 직선의 위상 105

3.1　열린 모음과 닫힌 모음_열린 집합과 닫힌 집합 106

3.2　상대적으로 열린 모음과 닫힌 모음_상대적 열린 집합과 닫힌 집합 116

3.3　옹골진 모음_콤팩트 집합 121

제 4 장 주릅의 극한과 연속_함수의 극한과 연속 129

4.1　주릅의 극한_함수의 극한 130

4.2　한쪽 극한과 끝없는 극한_한쪽 극한과 무한 극한 141

4.3　주릅의 연속_함수의 연속 150

4.4　연속 주릅의 성질_연속 함수의 성질 161

4.5　고른 연속_균등 연속 169

4.6　불연속의 유형과 단조로운 주릅_불연속의 유형과 단조 함수 176

제 5 장 미분 185

5.1　끌개_미분 계수와 도함수 186

5.2　평균값 정리와 그 활용 199

5.3　로피탈의 법칙 210

제 6 장 적분 221

6.1　리만 적분 222

6.2　리만 적분의 성질 240

6.3　미분 적분학의 기본 정리 249

6.4　특이 적분 258

6.5　리만 ․ 스틸체스 적분 269

제 7 장 실수들의 어울이_실급수 287

7.1　어울이의 수렴_급수의 수렴 288

7.2　견줌 판정법과 적분 판정법_비교 판정법과 적분 판정법 295

7.3　비율 판정법과 거듭제곱근 판정법 304

7.4　교대하는 어울이_교대 급수 311

7.5　절대적 수렴_절대 수렴 317

제 8 장 주릅들의 잇달이와 어울이_함수열과 함수급수 331

8.1　점마다 수렴과 고른 수렴_점별 수렴과 균등 수렴 332

8.2　고른 수렴의 결과_균등 수렴의 결과 345

8.3　거듭제곱 어울이_멱 급수 363

8.4　테일러의 정리와 테일러 어울이_테일러의 정리와 테일러 급수 376

제 9 장 푸리에 어울이_푸리에 급수 387

9.1　삼각 어울이와 푸리에 어울이_삼각 급수와 푸리에 급수 388

9.2　디리클레 핵과 페예르 핵, 평균으로 수렴 399

9.3　푸리에 어울이의 수렴, 디리클레의 정리_푸리에 급수의 수렴, 디리클레의 정리 412

제10장 르베그 적분 423

10.1 잴 수 있는 모음과 잴대_가측 집합과 측도 424

10.2 잴 수 있는 주릅_가측 함수 437

10.3 갇힌 주릅의 르베그 적분_유계 함수의 르베그 적분 449

10.4 일반적인 르베그 적분 467

10.5 푸리에 어울이에의 활용_푸리에 급수에의 활용 483

✤익히기와 다지기의 풀이 모음 493

✤참고 문헌 559

✤찾아보기 561

허민

서울대학교 사범대학 수학교육과와 동대학원을 졸업하고, 미국 코네티컷 대학교 수학과에서 박사 학위를 받았다. 현재 광운대학교 자연과학대학 수학과 교수이다. 저∙역서로는 《수학자의 뒷모습》(전4권), 《수학의 위대한 순간들》(이브스 저), 《수학의 역사 입문(버튼 저), 《산학계몽》(전3권, 주세걸 저), 《묵사집산법 천∙지∙인》(경선징 저), 《해석학의 원리》(루딘 저), 《복소 해석학과 활용》(질∙새너한 저), 《선형대수학과 그 응용》(스트랭 저), 《실 해석학 입문》(스톨 저) 등이 있다.

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