수학을 어떻게 하면“명확하게”이해할 수 있을까?

학부과정에서 수학을 배우는 학생들이 수학에서 제시하는 명제를 명확하게 이해한다면 명제와 관련된 다양하고 유사한 명제들에 대하여 참, 거짓을 분명하게 판정할 수 있을 것이다. 하지만 대부분의 대학생들은 수업시간에 제시되는 많은 분량의 새로운 정리와 명제를 배우고 암기하는 데 급급하여 정리와 명제에 사용된 가정이 왜 필요한지 또는 명제의 역은 왜 성립하지 않는지를 분명하게 알지 못하여 수학의 이론을 완벽하게 이해하는 데 어려움을 겪는 경우가 많다. 해석학은 학부생을 대상으로 하는 수학과 과목 중 가장 어려운 과목이다. 

특히 미적분학과 달리 복잡하고 엄밀한 논리를 이용하여 정리를 증명하는 것도 어렵지만 정리에서 제시한 조건이 빠지거나 변형되었을 때 정리가 성립하지 않는 예를 찾는 것도 쉽지 않다. 필자가 대학생일 때 해석학에 관련된 반례를 다룬 책은 1964년에 출간된《Counterexamples in Analysis (Gelbaum and Olmsted)》가 유일하였다. 하지만 이 책은 상당히 고급 수준의 반례들만을 다루고 있어서 해석학을 처음 학습하는 학생이나 임용고사를 준비하는 학생이 해석학에서 다루는 중요한 정리들을 명확하게 이해하는 데 크게 도움이 되지 않았다. 이런 이유로 필자가 지난 15년간 해석학을 강의하면 서 모았던 반례들을 정리하여, 해석학의 정리들을 엄밀하게 이해하고자 하는 수학전공 학생들과 임용고사를 준비하는 수학교육전공 학생들에게 도움이 될 해석학 교재를 집필하게 되었다. 본 교재는 《해석개론, 제2판》(경문사, 함남우)의 전개 순서에 맞춰 8개의 단원에서 모두 278개의 반례들을 제시하였다. 

이와 함께 이 반례들과 관련된 122개의 연습문제를 제시하여 반례의 내용을 확실하게 이해할 수 있는 토대를 제공하고자 하였다. 아직 많이 부족하고 보완해야 할 점이 있겠지만, 해석학을 학습하는 데 어려움을 겪고 있는 학생들이 해석학을 명확하게 이해하는 데 조금이나마 도움이 되기를 희망한다. 

-머리말 중에서-

1장 실수계•1
2장 수열•29
3장 함수의 극한•67
4장 연속•95
5장 미분•123
6장 적분•157
7장 급수•191
8장 함수열과 함수열 급수•231
참고문헌•265
집필후기•267

함남우 
서강대학교 수학과를 졸업하였고, 동 대학원에서 석사, 미국 텍사스 주립대에서 박사학위를 취득하였다.
2000년 이후부터 인천대학교 수학과 교수로 재직 중이다.  

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